自学考试专题：03-04全国自学考试线性代数答案.doc

2003年4月全国自学考试线性代数答案 第一部分选择题(共20分) 一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．对任意n阶方阵A、B总有( ) A．AB=BA B．|AB|=|BA| 2．在下列矩阵中，可逆的是 ( ) 3．设A是3阶方阵( ) A．-2 D．2 4．设A是mn矩阵，则齐次线方程线Ax=0仅有零解的充分必要条件是 ( ) A．A的行向量组线性无关 B．A的行向量组线性相关 C．A的列向量组线性无关 D．A的列向量组线性相关 5．设有m维向量组，则 ( ) A．当mn时，(I)一定线性相关 C．当mn时，(I)一定线性无关 6．已知是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解， 是其导出组Ax=0的一个基础解系，为任意常数，则方程组Ax=b的通解可表成 ( ) 7．设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的是( ) A．Ax=2x 8．设矩阵的秩为2，则λ= ( ) A．2 8．1 C．0 D．-l 9．二次型的矩阵是 ( ) 10．二次型 是 ( ) A．正定的 B．半正定的 C．负定的 D．不定的 第二部分 非选择题(共80分) 二、填空题(本大题共10小题。每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错选、不填均无分。 1 1．行列式的值为___． 12．设向量a=(2，1，2),则与它同方向的单位向量为__． 13．设α=(2，1，-2)，β=(1，2，3)，则2α=3β=____． 14．向量组a=(1，2，3，4，5)的秩为____． 15．设 mn矩阵A的，m个行向量线性无关，则矩阵的秩为____． 16．若线性方程组无解，则=______． 17．设2阶方阵均为2维列向量，且|A|=|B|=1，则|A+B|=_______． 18．设矩阵，则A的全部特征值为___． 19．设P为n阶正交矩阵，α、β为n维列向量，已知内知(α，β)=-l，则(Pa，Pβ)________ 20．设二次型的正惯性指数为P，负惯性指数为q，则p-q=______. 三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分) 21．设向量 22．设，矩阵X满足方程求矩阵X． 23．当t取何值时，向量组 线性相关? 24．求下列矩阵的秩： 25．设矩阵矩阵A由矩阵方程确定，试求 的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)． 27．设3阶方阵A的三个特征值为的特征向量依次为 求方阵A． 28．设为正定二次型，试确定实数a的最大取值范围． 四、证明题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 30．设向量β可由向量组线性表示．试证明：线性表示法唯一的充分必要条件是线性无关． 参考答案 一、单项选择题 1．B 2．D 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．B 9.C 10.A 二、填空题 11．O 13．(1,-4,-l3) 14．1 15．m l6．0 17．4 18．1，1，-l 19．-l 20．O 三、计算题 知当且仅当t=3时该向量组线性相关． 所求通解x= 都是非零列向量，故题设条件说明A有特征值 对应的特征向量分别为因为A为3阶方阵．故1，0．-l就是A的全部特征值，因A的特征值互不相同，于是由推论4．1知A可对角化，令矩阵 由上式得 28．解，的矩阵为，A的顺序主子式为 四、证明题 所以 30．证 由条件，存在常数 若表示法唯一，设有一组数 第 7 页